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\exemname 6.6.9 (Fibré sur une variété propre en valuation triviale) . [01WN]

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\exemname 6.6.9 (Fibré sur une variété propre en valuation triviale).

Supposons que |k×|={1}|k^{\times}|=\{1\}, soit XX une kk-variété algébrique et soit EE un fibré vectoriel sur XX  ; notons EanE^{\text{an}} le fibré vectoriel sur XanX^{\text{an}} déduit de EE. On peut voir la variété XX comme un schéma formel localement topologiquement de type fini 𝔛\mathfrak{X} sur k∘=kk^{\circ}=k et EE comme un fibré vectoriel formel 𝔈\mathfrak{E} sur 𝔛\mathfrak{X}.

Supposons de plus que XX soit propre. On dispose alors d’isomorphismes canoniques

𝔛η≃Xan​et​𝔈η≃Ean.\mathfrak{X}_{\eta}\simeq X^{\text{an}}\;\text{et}\;\mathfrak{E}_{\eta}\simeq E^{\text{an}}.

Par conséquent, EanE^{\text{an}} hérite d’une métrique PL naturelle. Si xx est un point de Xan≃𝔛ηX^{\text{an}}\simeq\mathfrak{X}_{\eta} et si 𝐱\bf x désigne son image sur X≃𝔛sX\simeq\mathfrak{X}_{s} alors ({𝐱}¯,𝐄|{𝐱}¯)(\overline{\{\bf x\}},E|_{\overline{\{\bf x\}}}) est un prémodèle de Ean~​(x)\widetilde{E^{\text{an}}}(x) (où {𝐱}¯\overline{\{\bf x\}} est muni de sa structure réduite).

Notons un cas particulier important : si XX est intègre, si ξ\xi désigne son point générique, et si l’on note xx le point de XanX^{\text{an}} correspondant à la flèche Spec(k(ξ),|.|0)→X\operatorname{Spec}(k(\xi),|.|_{0})\to X, alors (X,E)(X,E) est un modèle du fibré résiduel de Ean¯\overline{E^{\text{an}}} en xx.

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