Remarquons qu’il résulte des hypothèses faites sur $\mathfrak{X}$ que $V$ est un $\tilde{k}$-schéma intègre de type fini. Soit $(\mathfrak{U}_{1},\ldots,\mathfrak{U}_{n})$ une famille finie d’ouverts formels affines rencontrant $V$ et le recouvrant. Comme $\pi^{-1}(V)$ est un voisinage ouvert de $x$ dans $\mathfrak{X}_{\eta}$ qui est contenu dans $\bigcup\mathfrak{U}_{i,\eta}$, on peut remplacer $\mathfrak{X}$ par la réunion des $\mathfrak{U}_{i}$. Alors, $\widetilde{(\mathfrak{X}_{\eta},x)}=\bigcup\widetilde{(\mathfrak{U}_{i,\eta},x)}$ et $V=\bigcup\mathfrak{U}_{i,s}\cap V$, et il suffit de montrer l’assertion requise pour chacun des $\mathfrak{U}_{i}$. En d’autres termes, pour prouver que $\widetilde{(\mathfrak{X}_{\eta},x)}$ coïncide avec $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{V\}$, on peut supposer que $\mathfrak{X}$ est un schéma formel affine topologiquement de présentation finie sur $k^{\circ}$.

Soit $(f_{1},\ldots,f_{n})$ une famille génératrice de la $\tilde{k}$-algèbre $\mathscr{O}_{V}(V)$. Par définition, on a $\widetilde{(\mathfrak{X}_{\eta},x)}=\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{f_{1},\ldots,f_{n}\}$. Mais ce dernier coïncide avec $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{V\}$, d’où l’égalité voulue.

La dernière assertion du lemme s’en déduit : d’après le critère valuatif de propreté, $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{V\}$ égale $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}$ si et seulement si $V$ est propre sur $\tilde{k}$. ∎