Par hypothèse, il existe un entier $d\geq 1$ et un morphisme $p\colon X\rightarrow\mathbf{P}^{n}_{k}$ tel que $p^{*}\mathscr{O}(1)$ soit isomorphe à $L^{\otimes d}$. L’image réciproque d’une métrique lisse psh sur $\mathscr{O}(1)$ induit une métrique lisse psh sur $L^{\otimes d}$, et donc aussi sur $L$. ∎