La fonction nulle est évidemment PL. Soit $(X_{i})$ un G-recouvrement de $X$ par des domaines analytiques relativement stricts et, pour tout $i$, soit $f_{i}$ et $g_{i}$ des fonctions inversibles sur $X_{i}$ telles que $u|_{X_{i}}=\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}$ et $v|_{X_{i}}=\log\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$. La fonction $u+v$ est égale à $\log\mathopen{|}{f_{i}g_{i}}\mathclose{|}$ sur $X_{i}$, ce qui prouve qu’elle est PL. De même, la fonction $-u$ est égale à $\log\mathopen{|}{f_{i}^{-1}}\mathclose{|}$ sur $X_{i}$, donc est PL.

Notons $X_{i}^{+}$ et $X_{i}^{-}$ les domaines analytiques de $X_{i}$ définis par $\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}\geq\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ et $\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}\leq\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ respectivement. Sur $X_{i}^{+}$, on a $\max(u,v)=\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}$ et $\min(u,v)=\log\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$. sur $X_{i}^{-}$, on a $\max(u,v)=\log\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ et $\min(u,v)=\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}$. Il en résulte que $\max(u,v)$ et $\min(u,v)$ sont PL. ∎