Soit $L$ un fibré en droite muni d’une métrique. Pour que cette métrique soit lisse, il faut et il suffit que pour toute section inversible $s$ sur un ouvert $U$ de $X$, la fonction $\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ soit lisse sur $U$.

La nécessité de la condition est évidente, car $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ est la composition de la norme et de la section $U\rightarrow\mathbf{V}(E)$ déduite de $s$, l’image de cette section étant contenue dans le complémentaire de la section nulle. Inversement, la section $s$ fournit un isomorphisme de $\mathbf{V}(E)|_{U}$ avec $\mathbf{A}^{1}\times U$ ; par cet isomorphisme, la métrique est transformée en l’application $(t,x)\mapsto\mathopen{|}{t}\mathclose{|}\mathopen{\|}{s(x)}\mathclose{\|}$ ; sa restriction au complémentaire $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}\times U$ de la section nulle est donc lisse.