Soit $U$ un ouvert convexe de $\mathbf{R}^{n}$ et soit $h\colon U\rightarrow\mathbf{R}$ une fonction lisse, strictement convexe. L’application $\nabla h\colon U\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ est injective et $\int_{U}(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h)^{n}=n!\operatorname{vol}\nabla h(U)$.³³ 3 Si $h$ est convexe, mais pas strictement convexe, $\nabla h$ n’est plus forcément injective, mais la seconde formule semble toujours vraie. La raison est que pour $\varepsilon>0$, $h_{\varepsilon}\colon x\mapsto h(x)+\varepsilon\mathopen{\|}{x}\mathclose{\|}^{2}$ est strictement convexe et que $\operatorname{vol}\nabla h_{\varepsilon}(U)\rightarrow\operatorname{vol}\nabla h(U)$ quand $\varepsilon\rightarrow 0$. Faut-il plutôt mettre cet énoncé?