Je ne sais pas si toute fonction continue psh est localement psh-approchable, ni même localement approchable. Je ne suis même pas sûr que ce soit vrai : les techniques de régularisation standard (du côté réel) laissent penser que c’est le cas si $u$ est tropicale et psh (mais encore, passer d’un espace vectoriel à un espace PL ne semble trivial), elle est localement approchable, mais le cas général résiste.

Dans le cas des courbes, je crois avoir prouvé que si $u$ est psh, et si $K$ est un compact formé de points de type II ou III, alors $u$ est limite uniforme sur $K$ de fonctions psh lisses avec pôles.