Soit $u$ une fonction sur $X$. Si $u$ est continue et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[u]$ est un courant positif, il en reste de même après restriction à tout ouvert $U$ de $X$, si bien que $u|_{U}$ est psh. Inversement, supposons que tout point de $X$ ait un voisinage sur lequel $u$ est psh. Soit $(U_{i})$ une famille d’affinoïdes de $X$ dont les intérieurs recouvrent $X$ telle que pour tout $i$, la restriction de $u$ à $U_{i}$ soit psh. Soit $(\lambda_{i})$ une partition de l’unité subordonnée au recouvrement $(\mathring{U}_{i})$ formée de fonctions lisses. Notons $n=\dim(X)$ et soit $\omega\in\mathscr{A}^{n-1,n-1}_{\text{c}}(X)$ une forme lisse positive. On écrit $\omega=\sum_{i}\lambda_{i}\omega$, où la somme n’a qu’un nombre fini de termes non nuls puisque le support de $\omega$ est compact. Pour tout $i$, $\lambda_{i}\omega$ est une forme lisse positive dans $\mathscr{A}^{n-1,n-1}_{\text{c}}(U_{i})$. Puisque $u|_{U_{i}}$ est psh, on a donc $\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[u],\lambda_{i}\omega\rangle\geq 0$. Par suite,

$$\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[u],\omega\rangle=\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[u],\sum_{i}\lambda_{i}\omega\rangle=\sum_{i}\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[u],\lambda_{i}\omega\rangle\geq 0,$$

de sorte que le courant $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[u]$ est positif, comme annoncé. ∎