Soit $u$ une fonction continue sur $X$. Si le courant $[u]$ est nul, alors $u$ est identiquement nulle sur $\operatorname{Int}(X)$. En particulier, si $\partial(X)$ est d’intérieur vide dans $X$, l’application linéaire $u\mapsto[u]$ de $\mathscr{C}_{X}$ dans $\mathscr{D}^{0}_{X}$ est injective.