Le théorème est local sur $X$. On peut donc supposer que $f$ est de la forme $g/h$, avec $g$ et $h$ holomorphes non diviseurs de zéro. Par additivité des deux termes de l’égalité à établir, on se ramène alors au cas où $f$ est holomorphe. Pour alléger les notations, nous nous permettrons de noter encore $f$ le morphisme $X\to\mathbf{A}^{1}$ qu’elle induit.

On peut supposer que $X$ est $S_{1}$, et que $f:X\to\mathbf{A}^{1}$ est purement de dimension relative $n-1$.

En effet, soit $x\in X$. Supposons que $f(x)=0$. Comme $f$ n’est pas diviseur de zéro, elle est de dimension relative $n-1$ en $x$  ; elle est donc de dimension majorée par $n-1$ au voisinage de $x$ ([28], th. 4.9), et même égale à $n-1$ en vertu du Hauptidealsatz, au voisinage de $x$. Par ailleurs, $f$ appartient à l’idéal maximal de $\mathscr{O}_{X,x}$, et n’est pas diviseur de zéro dans celui-ci  ; en conséquence, $\mathscr{O}_{X,x}$ est $S_{1}$. Il existe dès lors un voisinage ouvert $U$ de $x$ dans $X$ tel que $U$ soit $S_{1}$ et tel que $f|_{U}$ soit purement de dimension relative $n-1$.

Si $f(x)\neq 0$, il existe un voisinage $U$ de $x$ sur lequel $f$ est inversible. Les deux termes de l’égalité à établir sont nuls sur $U$, et celle-ci est dès lors vérifiée sur $U$.

On peut donc supposer que $X$ est $S_{1}$ et que $f:X\to\mathbf{A}^{1}$ est purement de dimension relative $n-1$.

Soit $V$ un domaine affinoïde de $X$, et soit $g:V\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N}$ un moment. Pour tout $t\in D$ on note $V_{t}$ la fibre $f|_{V}^{-1}(t)$  ; pour tout intervalle réel $I$ on note $V_{I}$ le domaine analytique de $V$ défini par la condition $|f|\in I$. On désigne par $h$ le moment produit $(g,f):V\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N}\times\mathbf{A}^{1}$.

Si $P$ est un polytope de dimension $n$ et si $\mathscr{C}$ est une décomposition cellulaire de $P$, la réunion des $n$-cellules de $\mathscr{C}$ est un polytope purement de dimension $n$ qui ne dépend pas de $\mathscr{C}$. Nous l’appellerons le $n$-squelette de $P$.

Les deux courants $\delta_{\operatorname{div}f}$ et $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}[\log|f|]$ sont symétriques  ; pour s’assurer de leur égalité, il suffit de les appliquer à une forme test symétrique.

Soit donc $\omega$ une forme lisse à support propre sur $X$. Par compacité et absence de bord, le support de $\omega$ admet un recouvrement fini par des domaines affnoïdes $V_{i}$ ($i=1,\ldots,m$), contenus dans $\operatorname{Int}(X)$ et possédant les propriétés suivantes :

• —

  tout point du support de $\omega$ est contenu dans l’intérieur de l’un des $V_{i}$  ;

• —

  pour tout $i$ il existe un moment $g_{i}:T_{i}\to T_{i}$ et une $(n,n)$-forme $\alpha_{i}$ sur $g_{i,{\text{trop}}}(V_{i})$ telle que $\omega|_{V_{i}}=g_{i,{\text{trop}}}^{*}\alpha_{i}$.

Notons $V$ la réunion des $V_{i}$. C’est un domaine analytique compact de $X$, et le support de $\alpha$ est par construction contenu dans l’intérieur de $V$.

Pour tout ensemble non vide $E$ de $\{1,\ldots,m\}$, on note $V_{E}$ l’intersection $\bigcap_{i\in E}V_{i}$. Comme $\operatorname{Int}(X)$ est sans bord (et en particulier bon) et topologiquement séparé, il est séparé d’après la proposition 1.4.2 de [8]  ; en conséquence, $V_{E}$ est affinoïde.

Choisissons un réel $r>0$ tel que les conclusions de la proposition 4.6.6 ci-dessus soient satisfaites pour tout $E$ par $V_{E}$, pour chacun des moments $g_{i}|_{V_{E}}$ avec $i\in E$. Comme le support de $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$ ne rencontre aucun fermé de Zariski de dimension $<n$, il ne rencontre pas $X_{0}:=f^{-1}(0)$  ; il existe donc $s<r$ tel que que $\inf_{\text{Supp}\;\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega}|f|>s$.

Soit $W$ le domaine analytique de $V$ défini par l’inégalité $|f|\geq s$  ; on définit de même $W_{i}$ et $W_{E}$. Par choix de $s$, on a $\int_{X}\log|f|.\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega=\int_{W}\log|f|.\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$. La formule de Green assure que

Nous allons maintenant analyser chacun des quatre termes en lice.

Le terme $\int_{W}\log|f|.\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$. C’est celui que l’on cherche à calculer.

Le terme $\int_{W}(\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log|f|)\wedge\omega$. Il est nul car $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log|f|=0$.

Le terme $\int_{\partial W}\log|f|.\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$. Il est nul car le support de $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$ est contenu, par choix de $V$ et du réel $s$, dans l’intérieur de $W$.

Le terme $\int_{\partial W}-(\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log|f|)\wedge\omega$. Soit $(\varphi_{\ell})$ une suite de fonctions $\mathscr{C}^{\infty}$ de $\mathbf{R}$ dans $[0;1]$ telles que $\varphi_{\ell}$ vaille $1$ sur $[\log s+1/\ell;+\infty]$ et $0$ sur $]-\infty;\log s+1/2\ell]$. Pour tout entier $\ell$, l’intégrale $\int_{\partial W}-(\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log|f|)\wedge\omega$ est égale à

Pour tout $\ell$, le support de $\varphi_{\ell}(\log|f|)\omega$ est par construction contenu dans l’intérieur de $W$  ; l’intégrale $\int_{\partial W}\varphi_{\ell}(\log|f|)(\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log|f|)\wedge\omega$ est donc nulle, et il vient $\int_{\partial W}-(\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log|f|)\wedge\omega=\int_{\partial W}(-1+\varphi_{\ell}(\log|f|))(\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log|f|)\wedge\omega$.

Fixons $E$, choisissons $i$ dans $E$ et munissons $W_{E}$ du moment $h:=(g_{i},f)$ vers $T_{i}\times\mathbf{G}_{\mathrm{m}}$. L’intégrale $\int_{\partial W_{I}}(-1+\varphi_{\ell}(\log|f|))(\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log|f|)\wedge\omega$ peut être calculée via ce moment. Il résulte de la forme de $\varphi_{\ell}$ que $\int_{\partial W_{E}}(-1+\varphi_{\ell}(\log|f|))(\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log|f|)\wedge\omega$ tend, lorsque $\ell$ tend vers l’infini, vers l’intégrale de $\alpha_{i}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x$ sur la réunion des faces de $h_{\text{trop}}(W_{E})$ contenues dans l’hyperplan $x=\log s$.

Comme $s<r$ chacune de ces faces est une $(n-1)$- cellule de $g_{i,{\text{trop}}}(V_{E,0})$, et sa discordance comme face de $h_{\text{trop}}(W_{E})$ est égale à son calibrage comme cellule de $g_{i,{\text{trop}}}(V_{E,0})$, à produit extérieur près par $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x$  ; de plus, on obtient ainsi toutes les $(n-1)$-cellules de $g_{i,{\text{trop}}}(V_{E,0})$. Par conséquent, $\int_{\partial W_{I}}(-1+\varphi_{\ell}(\log|f|))(\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log|f|)\wedge\omega$ tend vers $\int_{V_{E,0}}\omega$ lorsque $\ell$ tend vers l’infini.

On en déduit l’égalité $\int_{\partial W_{E}}-(\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log|f|)\wedge\omega=\int_{V_{E,0}}\omega.$ Ceci valant pour tout $E$, il vient $\int_{\partial W}-(\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log|f|)\wedge\omega=\int_{V_{0}}\omega$. Ce dernier terme s’identifie à $\int_{X_{0}}\omega$, et l’on a bien établi finalement l’égalité

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