Il faut vérifier, d’une part que ces intégrales convergent, et d’autre part que cette application linéaire est continue.

Soit $U$ un domaine affinoïde de $X$, soit $(g\colon U\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{r},P)$ une carte tropicale sur $U$ et soit $\lambda$ une fonction lisse dont le support est compact et contenu dans $\mathring{U}$. Notons $K$ l’intersection du support de $\lambda$ et de la réunion dans $U$ des images réciproques par $p\circ g$ des squelettes de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$, pour toute projection standard $p$ de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{r}$ sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ ; si $r<n$, on pose $K=\emptyset$. L’ensemble $K$ est une partie compacte de $\mathring{U}$ ; pour toute $(n,n)$-forme lisse $\omega$ sur $P$, le support de $\lambda g^{*}\omega$ est contenu dans $K$. En outre, puisque $Z$ est un fermé de Zariski d’intérieur vide de $X$, $Z\cap K=\emptyset$ ; autrement dit, $K\subset X^{*}$.

Il existe un domaine affinoïde $V$ de $U$ tel que $K\subset V\subset X^{*}\cap U$. La restriction à $U\cap X^{*}$ de $u\lambda g^{*}\omega$ est une forme lisse donc le support est contenu dans $V$ ; la convergence de l’intégrale de $u\lambda g^{*}\omega$ sur $U\cap X^{*}$ en découle, de même que l’égalité $\int_{X^{*}}u\lambda g^{*}\omega=\int_{V}u\lambda g^{*}\omega$.

Par un argument de partitions de l’unité, il en résulte que l’application linéaire $[u]$ est bien définie.

La description précédente dans une carte tropicale fixée entraîne aussi que $\langle[u],\lambda g^{*}\omega_{j}\rangle\rightarrow 0$ si $\omega_{j}\rightarrow 0$. Par suite, $[u]$ est un courant. ∎