Supposons que la restriction à $\operatorname{Int}(X)$ ne soit pas nulle. Soit $\beta$ une forme sur $\operatorname{Int}(X)$ telle que $\alpha\wedge\beta\neq 0$ (proposition 3.2.8 Soit $x$ un point du support de $\alpha\wedge\beta$ et soit $\lambda$ une fonction lisse à support propre sur $X$ qui vaut $1$ au voisinage de $x$. La forme $\lambda\beta$ sur $\operatorname{Int}(X)$ est à support compact, donc son prolongement par zéro est une forme $\omega$ à support propre sur $X$ et la forme $\alpha\wedge\omega$ n’est pas nulle sur $\operatorname{Int}(X)$. D’après le lemme 4.3.6, on a donc $[\alpha\wedge\omega]\neq 0$. Il existe donc une fonction $\varphi$ lisse à support propre sur $X$ telle que $\langle[\alpha\wedge\omega],\varphi\rangle\neq 0$. Puisque

$$\langle[\alpha\wedge\omega],\varphi\rangle=\int_{X}\varphi\alpha\wedge\omega=\langle[\alpha],\varphi\omega\rangle,$$

on a $[\alpha]\neq 0$. ∎