Soit $x$ un point de $\operatorname{Int}(X)$, soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$ contenu dans $\operatorname{Int}(X)$, soit $f\colon V\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N}$ un moment et soit $\eta$ une forme lisse sur $f_{\text{trop}}(V)$ telle que $\alpha=f^{*}\eta$.

Démontrons que $\eta$ est nulle en prouvant que sa restriction à toute cellule ouverte maximale de $P=f_{\text{trop}}(V)$ est nulle.

Si $\dim(P)<n$, alors $\eta$ est nulle. Supposons que $\dim(P)=n$ et soit $Q$ une cellule ouverte de $P$ de dimension $n$. Par construction, $f_{\text{trop}}(x)\in\bar{Q}$. Par ailleurs, $f_{\text{trop}}(\partial(V))$ est contenu dans un polytope de dimension $<n$ contenu dans $P$ ; il est en particulier d’intérieur vide dans $Q$. Pour démontrer que $\eta|_{Q}=0$, il suffit de prouver que $\eta$ est nulle au voisinage de tout point $y$ de $Q\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}f_{\text{trop}}(\partial(V))$.

Soit $\theta$ une fonction sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m},{\text{trop}}}^{N}$, de classe $\mathscr{C}^{\infty}$, dont le support ne rencontre aucune autre cellule que $Q$ et ne rencontre pas $f_{\text{trop}}(\partial(V))$. La fonction $f|_{V}^{*}\theta$ est lisse sur $V$ et son support ne rencontre pas le bord de $V$, et donc pas le bord de $V$ dans $X$. Son extension par $0$, notée $f^{*}\theta$, est donc une fonction lisse à support propre sur $X$. On donc $\int_{X}(f^{*}\theta)\alpha=0$. Comme le support de $(f^{*}\theta)\alpha$ est contenu dans $V$, on a $\int_{V}(f^{*}\theta)\alpha=0$. Comme le support de $\theta$ ne rencontre que la cellule ouverte $Q$, cette dernière intégrale est donnée par $\int_{Q}\langle\theta\eta,\mu_{Q}\rangle$, où $\mu$ désigne le calibrage canonique de $V$. Comme $\theta$ est arbitraire, cela entraîne que la restriction de $\eta$ à la face $Q$ est nulle, ce qu’on voulait démontrer. ∎