Ces assertions sont classiques sur un ouvert de $\mathbf{R}^{n}$ et s’étendent immédiatement au cas des formes sur un polytope. Il reste à expliquer comment on se ramène à cette situation.

a) Considérons une famille finie $(W_{i},\tau_{i})$ de cartes tropicales qui recouvrent le support de ces formes et témoignent de la convergence de $\omega_{n}$ vers $\omega$ et de la convergence de $\eta_{n}$ vers $\eta$. On voit dans ces cartes que $\omega_{n}\wedge\eta_{n}$ converge vers $\omega\wedge\eta$.

b) Pour tout $i$, choisissons un raffinement fini $(W_{i,j},\tau_{i,j})$ de la carte tropicale $(W_{i},\tau_{i})$ par des cartes qui décrivent $\eta$, où les $W_{i,j}$ sont des affinoïdes contenus dans $U$ dont la réunion recouvre l’intersection avec $W_{i}$ du support de $\eta$. Alors, la famille finie de cartes tropicales témoigne de la convergence de $\omega_{n}\wedge\eta$ vers $\omega\wedge\eta$.

c) Pour tout $i$, choisissons de même un raffinement fini $(W_{i,j},\tau_{i,j})$ de la carte tropicale $(W_{i},\tau_{i})$ par des affinoïdes de $W_{i}$ qui tropicalisent $\eta$. Là encore, ces cartes $(W_{i,j})$ témoignent de la convergence de $\omega_{n}\wedge\eta$ vers $\omega\wedge\eta$. ∎