Commençons par traiter le cas d’une forme de type $(n,n)$. Soit $u$ une fonction lisse sur $X$. Il résulte de la définition de l’intégrale $\int_{X}u\omega$ que l’on a

$$\left|{\int_{X}u\omega}\right|\leq\mathopen{\|}{u}\mathclose{\|}_{X}\int_{X}{\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}}.$$

Soit $\varepsilon>0$. Il existe un voisinage compact $U$ de $K$ sur lequel $u$ est bornée par $\mathopen{\|}{u}\mathclose{\|}_{K}+\varepsilon$ ; soit alors $\lambda$ une fonction lisse sur $X$, de support contenu dans $U$, qui vaut $1$ au voisinage de $K$ et telle que $0\leq\lambda(x)\leq 1$ pour tout point de $U$. Comme $\lambda\omega=\omega$, on a alors

$$\left|{\int_{X}u\omega}\right|=\left|{\int_{X}\lambda u\omega}\right|\leq\mathopen{\|}{\lambda u}\mathclose{\|}_{X}\int_{X}{\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}}\leq(\mathopen{\|}{u}\mathclose{\|}_{K}+\varepsilon)\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}.$$

La proposition en découle en faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$.

Le cas des formes de type $(n-1,n)$ est analogue se traite de même. Soit $\lambda$ une fonction lisse égale à $1$ au voisinage de $\partial X\cap K$. La forme $\lambda\omega-\omega$ est nulle au voisinage de $\partial X$ ; d’après la proposition 3.10.7, son intégrale de bord est nulle. On a alors

$$\left|{\int_{\partial X}u\omega}\right|=\left|{\int_{\partial X}\lambda u\omega}\right|\leq\mathopen{\|}{\lambda u}\mathclose{\|}_{X}\int_{\partial X}{\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}}.$$

La proposition en résulte en considérons de telles fonctions $\lambda$ dont le support tend vers $\partial X\cap K$. ∎