En revenant à la définition de l’intégrale, on se ramène au cas où $V$ est contenu dans l’intérieur d’un domaine affinoïde $V^{\prime}$ adapté à $\omega$. Soit $f\colon V^{\prime}\rightarrow T$ un moment et soit $\alpha$ une $(n,n)$-forme sur $f_{\text{trop}}(V^{\prime})$ telle que $\omega|_{V^{\prime}}=f^{*}\alpha$.

Considérons une décomposition polytopale $\mathscr{P}^{\prime}$ de $f_{\text{trop}}(V^{\prime})$ telle que $f_{\text{trop}}(V)$ soit réunion de cellules de $\mathscr{P}^{\prime}$ et qui soit adaptée au calibrages $\mu_{f}$ de $f_{\text{trop}}(V)$ et $f_{\text{trop}}(V^{\prime})$. Il existe un voisinage $P$ de $f_{\text{trop}}(V)$ dans $f_{\text{trop}}(V^{\prime})$ qui est un polyope. Alors, $W=f_{\text{trop}}^{-1}(V)$ est un domaine analytique de $V^{\prime}$ qui est un voisinage de $V$. Compte tenu de la régularité extérieure de la mesure de Lebesgue sur un espace affine, la définition de $\int_{V^{\prime}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ montre que cette intégrale est arbitrairement proche de $0$. ∎