Notons $\widetilde{Y}$ et $\widetilde{X}$ les réductions graduées à la Temkin des espaces affinoïdes $Y$ et $X$, ainsi que $\tilde{f}\colon\widetilde{Y}\to\widetilde{X}$ l’application induite par $\tilde{f}$. Soit $\pi\colon Y\to\widetilde{Y}$ la flèche de réduction. Notons $\mathscr{A}$ et $\mathscr{B}$ les algèbres respectivement associées à $X$ et $Y$, et $\widetilde{\mathscr{A}}$ et $\widetilde{\mathscr{B}}$ leurs réductions graduées.

Soit ${\bf y}\in\widetilde{Y}$. Notons $J_{\bf y}$ (resp $I_{\bf y}$) l’idéal de $\widetilde{\mathscr{B}}$ (resp. $\widetilde{\mathscr{A}}$) engendré par les éléments homogènes s’annulant sur $\bf y$ (resp. $\tilde{f}({\bf y})$). Soit $E$ le sous-ensemble de $\widetilde{Y}$ formé des points $\bf y$ tel que $\widetilde{\mathscr{B}}/J_{\bf y}$ soit finie sur $\widetilde{\mathscr{A}}/I_{\bf y}$. En vertu du going-up gradué, si ${\bf y}\in E$ alors $\overline{\{\bf y\}}\subset E$.

L’intérieur $\operatorname{Int}(Y/X)$ est précisément égal à $\pi^{-1}(E)$ ([53], Proposition 3.1).

Soit $y\in K$. Comme $K\subset\operatorname{Int}(Y/X)$, on a $\pi(y)\in E$. L’image réciproque du fermé $\overline{\{\pi(y)\}}$ de $\widetilde{Y}$ est ouverte, et la compacité de $K$ entraîne alors que $\pi(K)$ est contenu dans une réunion finie $F=\bigcup\overline{\{{\bf y}_{i}\}}$, où les ${\bf y}_{i}$ appartiennent à $E$  ; notons que $F$ est un fermé de $\widetilde{Y}$, qui est contenu dans $E$.

Par quasi-compacité de $\widetilde{Y}$, il existe une famille $(f_{1},\ldots,f_{n})$ de fonctions analytiques non nilpotentes sur $Y$, de rayons spectraux respectifs $\rho_{1},\ldots,\rho_{n}$, telle que $F$ soit le lieu des zéros des $\widetilde{f_{i}}$, où $\widetilde{f_{i}}$ désigne l’image canonique de $f_{i}$ dans le groupe des éléments homogènes de degré $\rho_{i}$ de $\widetilde{\mathscr{A}}$.

Soit $y\in K$. Puisque $\pi(y)\in F$, on a pour tout $i$ l’égalité $\tilde{f_{i}}(\pi(y))=0$, ce qui signifie exactement que $|f_{i}(y)|<\rho_{i}$.

Soit $y\in\partial(Y/X)$. Le point $\pi(y)$ n’appartient pas à $E$, et a fortiori pas à $F$. Il s’ensuit qu’il existe $i$ tel que $\tilde{f_{i}}(\pi(y))\neq 0$, ce qui signifie exactement que $|f_{i}(y)|$ est égal à $\rho_{i}$. ∎