Pour tout $x\in K$, soit $f_{x}$ une fonction lisse sur $X$ qui vaut $1$ au voisinage de $x$ et dont le support est compact et contenu dans $U$. Quitte à remplacer $f_{x}$ par son carré, on peut la supposer positive ou nulle. Comme $K$ est compact, la somme $g$ d’une sous-famille finie de ces fonctions est strictement positive en tout point de $K$ ; elle est lisse et son support est encore compact et contenu dans $U$. Soit $\varphi$ une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ de $\mathbf{R}$ vers $[0;1]$, nulle en $0$ et égale à $1$ sur un voisinage de $g(K)$. La fonction $f=\varphi\circ g$ convient. ∎