D’après la proposition 3.2.7, il existe un point $x$ du support de $\alpha$ tel que $d_{k}(x)=n$. Soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$ et $f\colon V\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N}$ un moment qui tropicalise la forme $\alpha$ tel que $f_{\text{trop}}(V)$ soit purement de dimension $n$. Soit $\eta$ une forme lisse sur $f_{\text{trop}}(V)$ telle que $\alpha=f^{*}\eta$ ; elle n’est pas nulle.

L’image $f_{\text{trop}}(\partial(V))$ est un sous-espace linéaire par morceaux de dimension $\leq n-1$. Il existe donc un ouvert $Q$ d’une cellule ouverte maximale qui ne rencontre pas $f_{\text{trop}}(\partial(V))$ tel que $\eta|_{Q}\neq 0$. Comme $\dim(Q)=n$, on peut trouver une $(n-p,n-q)$-forme lisse à support compact contenu dans $Q$ telle que $\eta\wedge\eta^{\prime}\neq 0$. Puisque son support ne rencontre pas $\partial(V)$, la forme $f^{*}\eta^{\prime}$ sur $V$ se prolonge (par zéro) en une forme lisse $\beta$ à support propre sur $X$. La restriction à $V$ de $\alpha\wedge\beta$ est égal à $f^{*}(\eta\wedge\eta^{\prime})$, donc n’est pas nulle (lemme 3.2.2). ∎