Posons $x=f(y)$. Quitte à remplacer $X$ par un domaine affinoïde $X^{\prime}$ de $X$ contenant $X$, et $Y$ par un domaine affinoïde de $f^{-1}(X^{\prime})$ contenant $y$, on peut supposer que $X$ et $Y$ sont affinoïdes.

Soit $r$ la dimension de $f$ en $y$. D’après le théorème 4.6 de [28], la flèche $Y\to X$ se factorise par un morphisme $Y\to\mathbf{A}^{r}_{X}$ de dimension relative nulle en $y$.

En vertu de la variante analytique du Main Theorem de Zariski (th. 3.2 de [28]), il existe un voisinage affinoïde $V$ de $y$ dans $Y$, un morphisme étale $T\to\mathbf{A}^{r}_{X}$, et un domaine affinoïde $W$ de $T$ tels que $Y\to\mathbf{A}^{r}_{X}$ se factorise par un morphisme fini $V\to W$.

Comme $X$ est purement de dimension $d$, il résulte du lemme 2.3.3 de [30] que $T$ est purement de dimension $d+r$. Il en est donc de même de son domaine analytique $W$. De ce fait, la dimension de $V$ est inférieure ou égale à $d+r$. En tant que domaine affinoïde de $Y$, l’espace $V$ est purement de dimension $n$  ; on a donc $n\leq d+r$.

Par ailleurs, par définition de $r$ il existe une composante irréductible $Z$ de $f^{-1}(X)$ contenant $y$ et de dimension $r$. Celle-ci possède un point $z$ tel que $d_{{\mathscr{H}}(f(x))}(z)=r$  ; comme $d_{k}(x)=d$, on a $d_{k}(z)=r+d$.

En conséquence, $d+r\leq n$, d’où finalement l’égalité $d+r=n$. ∎