Par définition, tout point de $X$ possède un voisinage ouvert $U$ tel que la restriction à $U$ de $\omega$ fournisse l’objet nul de la limite inductive $\mathscr{F}_{\text{pf}}^{p,q}(U)$. Il existe en conséquence, par compacité de $X$, une famille finie $(f_{i}\colon U_{i}\rightarrow T_{i},q_{i}\colon T_{i}\rightarrow T,P_{i})$, où les $U_{i}$ sont des ouverts qui recouvrent $X$, où $(f_{i}\colon U_{i}\rightarrow T_{i},P_{i})$ est pour tout $i$ une carte tropicale sur $U_{i}$, et où $q_{i}$ est pour tout $i$ un morphisme affine de tores de $T_{i}$ vers $T$ tel que $q_{i,{\text{trop}}}(P_{i})\subset f_{\text{trop}}(X)$ et $(q_{i,{\text{trop}}}|_{P_{i}})^{*}\alpha=0$.

Comme les $U_{i}$ recouvrent $X$, le polytope $f_{\text{trop}}(X)$ est la réunion des images par les $q_{i,{\text{trop}}}$ des sous-espaces linéaires par morceaux $P_{i}$. Il existe donc une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{\text{trop}}(X)$ et, pour tout $i$, une décomposition cellulaire $\mathscr{D}_{i}$ de $P_{i}$, telles que toute cellule de $\mathscr{C}$ soit l’image pour un certain $i$, d’une cellule de $\mathscr{D}_{i}$ par $q_{i,{\text{trop}}}$.

Soit $Q\in\mathscr{C}$. Choisissons $i$ et une cellule $Q^{\prime}\in\mathscr{D}_{i}$ telle que $q_{i,{\text{trop}}}(Q^{\prime})=Q$. L’application $q_{i,{\text{trop}}}$ induit alors une surjection affine de $\langle Q^{\prime}\rangle$ sur $\langle Q\rangle$, et la restriction de $q_{i,{\text{trop}}}^{*}\alpha$ au vosinage de $Q^{\prime}$ dans $\langle Q^{\prime}\rangle$ est nulle car $(q_{i,{\text{trop}}}|_{P_{i}})^{*}\alpha=0$. Par suite, la restriction au voisinage de $Q$ dans $\langle Q\rangle$ de la forme $\alpha$ est nulle.

Il en résulte que $\alpha=0$, ce qu’il fallait démontrer. ∎