Soit $F$ une partie compacte de $X$. Soit $x$ un point de $F$ ; il possède un voisinage ouvert $U_{x}$ dans $X$ qui est ouvert, paracompact et connexe par arcs ([8], remarque 1.2.4 (iii)), donc réunion dénombrable de parties compactes. Puisque $F$ est compact, il existe une partie finie $S$ de $F$ telle que la réunion $U$ des $U_{x}$, pour $x\in S$, contienne $F$. Cet ensemble $U$ est ouvert dans $X$ et dénombrable à l’infini. ∎