\lemmname 1.5.7 (Formules de Stokes et Green) . [01MM]

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\lemmname 1.5.7 (Formules de Stokes et Green).

Soit $V$ un espace affine, soit $P$ un sous-espace linéaire par morceaux de $V$ et soit $\mu$ un calibrage de $P$ . Soit $\omega$ une $(n-1,n)$ -forme lisse et à support compact sur $P$ . On a la formule de Stokes :

\int_{X}\langle\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega,\mu\rangle=\int_{X}\langle\omega,\partial\mu\rangle.

(1.5.7.1)

Soit $\alpha$ et $\beta$ des $(p,p)$ et $(q,q)$ -formes lisses et symétriques sur $P$ , où $p+q=p-1$ . Si l’intersection de leurs supports est compact, on a la formule de Green :

\int_{X}\langle\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta-\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\beta,\mu\rangle=\int_{X}\langle\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta-\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\beta,\partial\mu\rangle.

(1.5.7.2)