Par linéarité, il suffit de traiter le cas d’une forme de la forme $\omega=\alpha\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge dcx_{J}$, où $I$ et $J$ sont des multiindices de longueur $p$ et $q$. Alors,

	$\displaystyle\mathrm{J}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathrm{J}\omega$	$\displaystyle=(-1)^{pq}\mathrm{J}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{J}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{I}$
		$\displaystyle=(-1)^{pq}\mathrm{J}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial\alpha}{\partial x_{i}}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{J}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{I}$
		$\displaystyle=(-1)^{pq}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial\alpha}{\partial x_{i}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}$
		$\displaystyle=(-1)^{pq}(-1)^{p(q+1)}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial\alpha}{\partial x_{i}}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$
		$\displaystyle=\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega.$

Les autres relations s’en déduisent, compte tenu du fait que $\mathrm{J}$ est une involution. ∎